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周期的境界条件

1次元の弦に電子が詰まっていることを考えます。

エネルギーEを考えます。
\begin{eqnarray*}
E=\frac{\hbar}{2m}(\frac{n_x\pi}{L})^2
\end{eqnarray*}

ここでいきなり波動関数$\varphi(x)$を導入します。
\begin{eqnarray*}
\varphi(x)&=&Ae^{ik_x}\\
&=&e^{i(k_x+L)}\\
&=&e^{iL}Ae^{ik_x}
\end{eqnarray*}
ここでオイラーの公式$e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$より
以上の式が成り立つためには$e^{iL}=0$でなければならなくなります。
したがって$k_x=\frac{2\pi}{L} n_x$の
$n_x$の値は0および$2\pi$の周期的な値となり、
$k_x$の波数は、
$\frac{2\pi}{L}$の周期の飛び飛びの値になります。
なお、今回の一次元の場合は$\frac{2\pi}{L}$の間隔になりますが、
3次元の場合には、電子が閉じ込められる体積は$({\frac{2\pi}{L})}^3$となります。
1jigen
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状態密度関数

状態密度関数を求めます。


Eは粒子の運動エネルギーを表します。
$\hbar$はプランク定数を$2\pi$で割った定数でディラック定数と呼ばれます。
ここでkは波数ベクトルを表します。
mは有効質量をを表します。


\begin{eqnarray*}
E&=&\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\\
2mE &=& \hbar^2 k^2 \\
k^2 &=& \frac{2mE}{\hbar^2}\\
k &=&( {\frac{2mE}{\hbar^2}})^\frac{1}{2}\\
\end{eqnarray*}

次に存在するエネルギーの状態数Nを求めます。


式の分子、球の体積 $\frac{4}{3}\pi k^3$ これはフェルミ球を呼ばれることがあります。
kはその球の半径を表します。
分子の最初の係数2は電子のスピン2に由来しております。
分母はLの立方体$(\frac{2\pi}{L})^3$の体積を表します。


\begin{eqnarray*}
N &=& \frac{2(\frac{4}{3}\pi k^3) }{ (\frac{2\pi}{L})^3}\\
\end{eqnarray*}
式を変更して
\begin{eqnarray*}
N &=& \frac{8\pi k^3 L^3}{ 3 \cdot 8\pi^3}k^3\\
&=&\frac{L^3} { 3\pi^2} k^3\\
\end{eqnarray*}
Nは存在するエネルギーの状態数Nでした。


この式にフェルミ球の半径(波数ベクトル)のkを代入して
エネルギーの状態数Nをもとめます。


\begin{eqnarray*}
N &=&\frac{L^3}{ 3\pi^2}\cdot( {\frac{2mE}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \\
&=&\frac{L^3}{ 3\pi^2}\cdot ({\frac{2m}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \cdot E^\frac{3}{2} \\
\end{eqnarray*}


存在するエネルギーの状態数Nを粒子の運動エネルギーEで微分しますと状態密度関数Dが求まります。


\begin{eqnarray*}
D&=&\frac{dN}{dE} = \frac{L^3}{ 3\pi^2} ({\frac{2m}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} E^\frac{1}{2} \\
&=&\frac{L^3}{ 2\pi^2} ({\frac{2m}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \cdot E^\frac{1}{2} \\
\end{eqnarray*}


立方体各辺の長さLの体積をV=1で規格化しますと。
$L^3 = V = 1$


状態密度関数
\begin{eqnarray*}
D&=&\frac{1}{ 2\pi^2} ({\frac{2m}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \cdot E^\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{ 2\pi^2} ({\frac{2m}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \cdot \sqrt{E} \\
\end{eqnarray*}