2017/09/10
状態密度関数を求めます。
Eは粒子の運動エネルギーを表します。
$\hbar$はプランク定数を$2\pi$で割った定数でディラック定数と呼ばれます。
ここでkは波数ベクトルを表します。
mは有効質量をを表します。
\begin{eqnarray*}
E&=&\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\\
2mE &=& \hbar^2 k^2 \\
k^2 &=& \frac{2mE}{\hbar^2}\\
k &=&( {\frac{2mE}{\hbar^2}})^\frac{1}{2}\\
\end{eqnarray*}
次に存在するエネルギーの状態数Nを求めます。
式の分子、球の体積 $\frac{4}{3}\pi k^3$ これはフェルミ球を呼ばれることがあります。
kはその球の半径を表します。
分子の最初の係数2は電子のスピン2に由来しております。
分母はLの立方体$(\frac{2\pi}{L})^3$の体積を表します。
\begin{eqnarray*}
N &=& \frac{2(\frac{4}{3}\pi k^3) }{ (\frac{2\pi}{L})^3}\\
\end{eqnarray*}
式を変更して
\begin{eqnarray*}
N &=& \frac{8\pi k^3 L^3}{ 3 \cdot 8\pi^3}k^3\\
&=&\frac{L^3} { 3\pi^2} k^3\\
\end{eqnarray*}
Nは存在するエネルギーの状態数Nでした。
この式にフェルミ球の半径(波数ベクトル)のkを代入して
エネルギーの状態数Nをもとめます。
\begin{eqnarray*}
N &=&\frac{L^3}{ 3\pi^2}\cdot( {\frac{2mE}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \\
&=&\frac{L^3}{ 3\pi^2}\cdot ({\frac{2m}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \cdot E^\frac{3}{2} \\
\end{eqnarray*}
存在するエネルギーの状態数Nを粒子の運動エネルギーEで微分しますと状態密度関数Dが求まります。
\begin{eqnarray*}
D&=&\frac{dN}{dE} = \frac{L^3}{ 3\pi^2} ({\frac{2m}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} E^\frac{1}{2} \\
&=&\frac{L^3}{ 2\pi^2} ({\frac{2m}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \cdot E^\frac{1}{2} \\
\end{eqnarray*}
立方体各辺の長さLの体積をV=1で規格化しますと。
$L^3 = V = 1$
状態密度関数
\begin{eqnarray*}
D&=&\frac{1}{ 2\pi^2} ({\frac{2m}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \cdot E^\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{ 2\pi^2} ({\frac{2m}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \cdot \sqrt{E} \\
\end{eqnarray*}