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インスツルメンテーション・アンプ(Instrumentation Amplifier)

インスツルメンテーション・アンプ(Instrumentation Amplifier)の算出を行います。
\begin{eqnarray*}
I1=I2=I3\\
\end{eqnarray*}
バーチャルショートを使うことにしました。
増幅率を無限大にして解くのは少し難しいです。
\begin{eqnarray*}
\frac{VO2-VI2}{R3}=\frac{VI2-VI1}{R1}=\frac{VI1-VO1}{R2}
\end{eqnarray*}
先ほどはもうバーチャルショートを使ってます。

VO2とVO1について整理します。
\begin{eqnarray*}
VO2-VI2&=&\frac{R3}{R1}(VI2-VI1)\\
VO2&=&\frac{R3}{R1}(VI2-VI1)+VI2
\end{eqnarray*}
先ほどの最初の式をもう一度かきます。

\begin{eqnarray*}
\frac{VI2-VI1}{R1}&=&\frac{VI1-VO1}{R2}\\
\frac{R2}{R1}(VI2-VI1)&=&VI1-VO1
\end{eqnarray*}
から
\begin{eqnarray*}
VO1=-\frac{R2}{R1}(VI2-VI1)+VI1
\end{eqnarray*}
後段の差動増幅回路の式は回路図から。
\begin{eqnarray*}
VO=\frac{R5}{R4}(VO2-VO1)
\end{eqnarray*}
この式に先ほどのバッファの式を代入します。
\begin{eqnarray*}
VO=\frac{R5}{R4}\left[\frac{R3}{R1}(VI2-VI1)+VI2 +\frac{R2}{R1}(VI2-VI1)-VI1 \right]
\end{eqnarray*}
ここでR3=R2としますと。
\begin{eqnarray*}
Vo=\frac{R5}{R4}\left[\frac{2R2}{R1}(VI2-VI1)+VI2-VI1 \right]
\end{eqnarray*}
以下のようにVi2-Vi1の項でまとめますと
\begin{eqnarray*}
VO=\frac{R5}{R4}\left[\frac{2R2}{R1}(VI2-VI1)+\frac{R1}{R1}(VI2-VI1) \right]
\end{eqnarray*}
インスツルメンテーションアンプの式が求まります。
\begin{eqnarray*}
VO&=&\frac{R5}{R4}(\frac{2R2+R1}{R1})(VI2-VI1)
\end{eqnarray*}

Superior-Differential-Amplifier2
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インスツルメンテーション・アンプ(Instrumentation Amplifier)の 導出準備

オペアンプを3個使用したインスツルメンテーション・アンプ(Instrumentation Amplifier)の
導出準備を行います。
この導出は以前に導出した非反転増幅回路、差動入力回路を利用します。

VI1入力はオペアンプの非反転増幅回路にて増幅されるため出力VO1は
以下の式から導出されます。

\begin{eqnarray*}
VO1&=&(1+\frac{R2}{R1})VI1\\
\end{eqnarray*}

同様にVI2入力はオペアンプの非反転増幅回路にて増幅されるため出力VO2は
以下の式から導出されます。

\begin{eqnarray*}
VO2&=&(1+\frac{R4}{R3})VI1\\
\end{eqnarray*}
これらの信号は次の段の差動入力回路にて増幅されます。

差動増幅回路(Differential Amplifiers)の式に代入します。
差動増幅回路の式は以下の式であらわされます。
\begin{eqnarray*}
VO&=&\frac{R6}{R5}(VO2-VO1)\\
\end{eqnarray*}

この差動増幅回路の式は差動増幅回路R8=R6、R7=R5の場合成り立つ式です。

この式に非反転増幅回路の出力を代入します。

\begin{eqnarray*}
VO=\frac{R6}{R5}\{(1+\frac{R4}{R3})VI2-(1+\frac{R2}{R1})VI1\}
\end{eqnarray*}

R4=R2、R3=R1の場合、

\begin{eqnarray*}
VO&=&\frac{R6}{R5}\{(1+\frac{R2}{R1})VI2-(1+\frac{R2}{R1})VI1\}\\
&=&\frac{R6}{R5}(1+\frac{R2}{R1})(VI2-VI1)\\
\end{eqnarray*}
インスツルメンテーション・アンプ(Instrumentation Amplifier)の導出が整いました。
今回導出しましたインスツルメンテーション・アンプは非反転増幅回路の片方が設置されてました。
実際のインスツルメンテーション・アンプの前段部、非反転増幅回路の片方は設置されておりませんので
次回はインスツルメンテーション・アンプの実際の導出に挑戦します。

Instrumentation-Amplifier1

差動増幅回路(Differential Amplifiers)1

オペアンプを使用した差動増幅回路の式を求めます。

キルヒホッフの定理と
オペアンプの反転入力にはほとんど電流が流れ込まないことから、

\begin{eqnarray*}
I1=\frac{(VI1-V\ominus)}{R1}=\frac{V\ominus-VO}{R2}
\end{eqnarray*}
オペアンプの反転入力にかかる電圧$V\ominus$をもとめます。
\begin{eqnarray*}
\frac{(VI1-V\ominus)}{R1}=\frac{V\ominus-VO}{R2}
\end{eqnarray*}
$V\ominus$でまとめると。

\begin{eqnarray*}
\frac{VI1}{R1}+\frac{Vo}{R1}&=&\frac{V\ominus}{R2}+\frac{V\ominus}{R1}\\
&=&(\frac{1}{R1}+\frac{1}{R1})V\ominus\\
&=&\frac{R1+R2}{R1R2}V\ominus
\end{eqnarray*}
オペアンプの反転入力は
\begin{eqnarray*}
V\ominus&=&\frac{R1R2}{R1+R2}(\frac{VI1}{R1}+\frac{VO}{R2})\\
&=&\frac{R2}{R1+R2}VI1+\frac{R1}{R1+R2}VO
\end{eqnarray*}

キルヒホッフの定理と
オペアンプの非反転入力にはほとんど電流が流れ込まないことから、
\begin{eqnarray*}
\frac{VI2-V\oplus}{R3}=\frac{V\oplus-0}{R4}
\end{eqnarray*}
オペアンプの非反転入力にかかる電圧$V\oplus$をもとめます。
\begin{eqnarray*}
\frac{VI2}{R3}&=&(\frac{1}{R3}+\frac{1}{R4})V\oplus\\
&=&\frac{R3+R4}{R3R4}V\oplus
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
V\oplus&=&\frac{R3R4}{R3+R4}\frac{VI2}{R3}\\
&=&\frac{R4}{R3+R4}VI2\\
\end{eqnarray*}

オペアンプの出力は
\begin{eqnarray*}
VO=A(V\oplus - V\ominus)
\end{eqnarray*}

オペアンプの出力の式に非反転入力、非反転入力を代入します。
\begin{eqnarray*}
VO=A(\frac{R4}{R3+R4}VI2-\frac{R2}{R1+R2}VI1-\frac{R1}{R1+R2}VO)
\end{eqnarray*}
VOでまとめると、
\begin{eqnarray*}
(1+\frac{AR1}{R1+R2})VO=A(\frac{R4}{R3+R4}VI2-\frac{R2}{R1+R2}VI1)\\
(\frac{1}{A}+\frac{R1}{R1+R2})VO=(\frac{R4}{R3+R4}VI2-\frac{R2}{R1+R2}VI1)
\end{eqnarray*}
理想オペアンプの増幅率Aは無限大であることから$ A\rightarrow \infty$
\begin{eqnarray*}
\frac{R1}{R1+R2}VO&=&\frac{R4}{R3+R4}VI2-\frac{R2}{R1+R2}VI1\\
VO&=&\frac{R1+R2}{R1}\frac{R4}{R3+R4}VI2- \frac{R1+R2}{R1} \frac{R2}{R1+R2}VI1\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
VO&=&\frac{R1+R2}{R1}\frac{R4}{R3+R4}VI2-\frac{R2}{R1} VI1\\
\end{eqnarray*}
R3=R1、R4=R2とすると、
\begin{eqnarray*}
VO&=&\frac{R2}{R1}(VI2-VI1)\\
\end{eqnarray*}
Differential-Amplifiers1

ボルテージフォロア(Voltage-Follower)1

オペアンプを使用したボルテージフォロア回路の式を求めます。
\begin{eqnarray*}
V\ominus=VO
\end{eqnarray*}
オペアンプの反転入力にかかる電圧$V\ominus$をもとめます。
オペアンプの出力は
\begin{eqnarray*}
VO=A(V\oplus - V\ominus)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
VO=A(V\oplus - VO)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
VO+AVO=AVI\\
\frac{1}{A}VO+VO=VI
\end{eqnarray*}
理想オペアンプの増幅率Aは無限大であることから$ A\rightarrow \infty$
\begin{eqnarray*}
VO=VI\\
\end{eqnarray*}
Voltage-Follower1

非反転増幅回路(Non-Inverting Amplifiers)1

オペアンプを使用した非反転増幅回路の増幅式を求めます。

キルヒホッフの定理よりオペアンプの反転入力にはほとんど電流が流れ込まないことから、
電流は入力から出力に流れることから、
\begin{eqnarray*}
I=\frac{(VO-V\ominus)}{R2}=\frac{V\ominus-0}{R2}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{(VO-V\ominus)}{R2}=\frac{V\ominus-0}{R2}
\end{eqnarray*}

オペアンプの反転入力にかかる電圧$V\ominus$をもとめます。
$V\ominus$でまとめると。
\begin{eqnarray*}
\frac{VO}{R2}&=&\frac{V\ominus}{R1}+\frac{V\ominus}{R2}\\
&=&\frac{R1+R2}{R1R2}V\ominus
\end{eqnarray*}
オペアンプの反転入力は
\begin{eqnarray*}
V\ominus&=&\frac{R1R2}{R1+R2}\frac{VO}{R2}\\
&=&\frac{R1}{R1+R2}VO
\end{eqnarray*}
オペアンプの非反転入力は
\begin{eqnarray*}
V\oplus=VI
\end{eqnarray*}

オペアンプの出力は
\begin{eqnarray*}
VO=A(V\oplus - V\ominus)
\end{eqnarray*}
オペアンプの出力の式に非反転入力、非反転入力を代入します。

\begin{eqnarray*}
VO=A(VI-\frac{R1}{R1+R2}VO)
\end{eqnarray*}

VOでまとめると、
\begin{eqnarray*}
(1+\frac{AR1}{R1+R2})VO&=&-AVI\\
(\frac{1}{A}+\frac{R1}{R1+R2})VO&=&VI
\end{eqnarray*}

理想オペアンプの増幅率Aは無限大であることから$ A\rightarrow \infty$
\begin{eqnarray*}
\frac{R1}{R1+R2}VO&=&VI\\
VO&=&\frac{R1+R2}{R1}VI\\
&=&(1+\frac{R2}{R1})VI\\
\end{eqnarray*}

Non-Inverting-Amplifier1

反転増幅回路(Inverting Amplifiers)1

オペアンプを使用した反転増幅回路の増幅式を求めます。

キルヒホッフの定理とオペアンプの反転入力にはほとんど電流が流れ込まないことから、
電流はオペアンプ入力端子から出力端子に流れることから、
\begin{eqnarray*}
I=\frac{(VI-V\ominus)}{R1}=\frac{V\ominus-VO}{R2}
\end{eqnarray*}
オペアンプの反転入力にかかる電圧$V\ominus$をもとめます。
$V\ominus$でまとめると。
\begin{eqnarray*}
\frac{VI}{R1}+\frac{Vo}{R1}&=&\frac{V\ominus}{R2}+\frac{V\ominus}{R1}\\
&=&(\frac{1}{R2}+\frac{1}{R1})V\ominus\\
&=&\frac{R1+R2}{R1R2}V\ominus
\end{eqnarray*}
オペアンプの反転入力は
\begin{eqnarray*}
V\ominus&=&\frac{R1R2}{R1+R2}(\frac{VI}{R1}+\frac{VO}{R2})\\
&=&\frac{R2}{R1+R2}VI+\frac{R1}{R1+R2}VO
\end{eqnarray*}
オペアンプの非反転入力は
\begin{eqnarray*}
V\oplus=0
\end{eqnarray*}
オペアンプの出力は
\begin{eqnarray*}
VO=A(V\oplus - V\ominus)
\end{eqnarray*}
オペアンプの出力の式に非反転入力、非反転入力を代入します。
\begin{eqnarray*}
VO=-\frac{AR2}{R1+R2}VI-\frac{AR1}{R1+R2}VO
\end{eqnarray*}
VOでまとめると、
\begin{eqnarray*}
(1+\frac{AR1}{R1+R2})VO=-\frac{AR2}{R1+R2}VI\\
(\frac{1}{A}+\frac{R1}{R1+R2})VO=-\frac{R2}{R1+R2}VI
\end{eqnarray*}
理想オペアンプの増幅率Aは無限大であることから$ A\rightarrow \infty$
\begin{eqnarray*}
R1VO=-R2VI\\
VO=-\frac{R2}{R1}VI\\
\end{eqnarray*}
Inverting-Amplifier01