fc2ブログ

速度の合成則(the addition of velocities)

速度の合成則に再挑戦します。

ローレンツ変換
S系とS'系は以下の式で求めておりました。
\begin{eqnarray*}
x'&=& \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}})^2} x - \frac{u }{\sqrt{1-(\frac{u}{c}})^2} t\\
t'&=& \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}})^2} t + \frac{-\frac{u}{c^2}}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}})^2} x\\
\end{eqnarray*}

宇宙ステーションの慣性系Sから
宇宙船の慣性系S'が速度uで移動していると考えてます。
ここで宇宙船の慣性系S'から慣性系S''へ速度wで飛翔体を放ったとします。
この状態を以下の式に代入します
\begin{eqnarray*}
x'=wt'
\end{eqnarray*}
代入しますと
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}})^2} x - \frac{u }{\sqrt{1-(\frac{u}{c}})^2} t\\
= \frac{w}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}})^2} t + \frac{-\frac{uw}{c^2}}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}})^2}x
\end{eqnarray*}
分母は通分できるので

\begin{eqnarray*}
x-ut=wt-\frac{uw}{c^2}x
\end{eqnarray*}

それぞれxとtくくり出して
\begin{eqnarray*}
(1+\frac{uw}{c^2})x=(u+w)t
\end{eqnarray*}
xでまとめると、以下の式となり
\begin{eqnarray*}
x=\frac{u+w}{1+\frac{uw}{c^2}} t
\end{eqnarray*}

xでまとめてtでくくり出された部分が飛翔体の速度に相当するので、
これが速度の合成則となります。
意外と簡単に求めることができました。
ただ、これは宇宙ステーションの慣性系S、宇宙船の慣性系S'、
飛翔体の慣性系S''が例えばx軸に平行であること、
同じ方向に進んでいることが条件です。
スポンサーサイト