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状態密度関数2

状態密度関数を求めます。
前回はディラック定数$\hbar$(エイチバー)を
使用しておりました。物理よりの参考書では
こちらを使用されていることが多いです。
ですが、工学よりではプランク定数が使用されていることが多いです。
今回はプランク定数を使用して求めます。
エネルギーの状態数Nを求めます。
\begin{eqnarray*}
N= \frac{ 2 \frac{4}{3}\pi k^3} {(\frac{2\pi}{L})^3}
\end{eqnarray*}
最初の係数2は電子のスピン2に由来しております。
注意点は電子のスピンは別の数字で表されます。
電子のスピン=2では無いことに注意します。
\begin{eqnarray*}
N&=& \frac{8\pi k^3 L^3}{ 3 \cdot 8\pi^3}k^3\\
&=&\frac{L^3}{ 3\pi^2} k^3\\
\end{eqnarray*}
立方体各辺の長さLの体積をVとしますと
\begin{eqnarray*}
N=\frac{V}{3\pi^2}k^3
\end{eqnarray*}
エネルギーの状態数Nを求めることができました。
電子のエネルギーは以下の式で表現されます。
説明を割愛しておりましたが、
電子の運動エネルギーから導出されます。
\begin{eqnarray*}
E = \frac{\hbar ^2 k^2}{2m}
\end{eqnarray*}
前回は物理よりの参考書を参考にディラック定数
$\hbar$「エイチバー」で求めておりましたが、
今回はプランク定数「h」で求めます。
ディラック定数とプランク定数の関係は
以下の通りです。
\begin{eqnarray*}
\hbar = \frac{h}{2\pi}
\end{eqnarray*}
よって電子のエネルギーは
\begin{eqnarray*}
E = \frac{h^2 k^2}{2m(2\pi)^2}
\end{eqnarray*}
となり、フェルミ球の半径を求めます。
\begin{eqnarray*}
2mE &=&\frac{h^2}{(2\pi)^3}k^2 \\
\frac{2mE}{h^2}&=&\frac{k^2}{(2\pi)^2}\\
k^2&=&(2\pi)^2 \frac{2mE}{h^2}\\
k&=&2\pi (\frac{2mE}{h^2})^\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
k:「フェルミ球」の半径が求まりました。
フェルミ球の半径を3乗します。
\begin{eqnarray*}
k^3&=&(2\pi)^3 (\frac{2mE}{h^2})^\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}
フェルミ球の半径の3乗をエネルギーの状態数Nに代入すると、
エネルギーの状態数の式は以下の様になります。
\begin{eqnarray*}
N&=&\frac{L^3}{3\pi^2}(2\pi)^3(\frac{2mE}{h^2})^\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}
状態密度関数Dを求めるためエネルギーの状態数Nを
電子のエネルギーEで微分するため
状態数の式を変形します。
\begin{eqnarray*}
N&=&\frac{L^3}{3\pi^2}(2\pi)^3(\frac{2m}{h^2})^\frac{3}{2} E^\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}
状態数Nを電子のエネルギーEで微分すると状態密度関数Dになります。
\begin{eqnarray*}
D&=&\frac{dN}{dE}\\
&=&\frac{3}{2}\frac{L^3}{3\pi^2}(2\pi)^3(\frac{2m}{h^2})^\frac{3}{2} E^\frac{1}{2}\\
&=&4\pi L^3(\frac{2m}{h^2})^\frac{3}{2} E ^\frac{1}{2}\\
\end{eqnarray*}
$L=1(L^3=V=1)$で規格化すると
\begin{eqnarray*}
D=4\pi(\frac{2m}{h^2})^\frac{3}{2} E ^\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
プランク定数を使用して
状態密度関数Dが求まりました。

箱の中の電子(井戸形ポテンシャル)

箱の中の電子(井戸形ポテンシャル)
電子のエネルギーの状態が飛び飛びの状態になること。
本来なら「シュレディンガー方程式」を用いて求めるのででしょうが、
今回は力学や定常波を使用して求めます。
電子のような微粒子の運動エネルギー
\begin{eqnarray*}
E=\frac{1}{2}mv^2
\end{eqnarray*}
微粒子の運動量
\begin{eqnarray*}
p=mv
\end{eqnarray*}
両辺を2乗する
\begin{eqnarray*}
p^2&=&m^2v^2\\
v^2&=&\frac{p^2}{m^2}
\end{eqnarray*}
これを運動エネルギーに代入
\begin{eqnarray*}
E&=&\frac{1}{2}m\frac{p^2}{m^2}\\
&=&\frac{p^2}{2m}
\end{eqnarray*}
ド・ブロイ波(物質波)の波長から
\begin{eqnarray*}
\lambda&=&\frac{h}{p}\\
p \lambda&=&h\\
p&=&\frac{h}{\lambda}
\end{eqnarray*}
式を変形して運動量を求め、これを運動エネルギーに代入します。
\begin{eqnarray*}
E=\frac{1}{2m}\frac{h^2}{\lambda^2}
\end{eqnarray*}
井戸形ポテンシャル(箱形ポテンシャル)を考えます。
箱の中央から壁の両端までの距離をaとします。
ポテンシャルが領域外で$∞$なので
壁に電子が閉じこめられたことになります。
(1)定常波の接(ノード)が壁に接して、腹が壁の間に1つある基底状態を
考えますと定常波の波長は$4a$となり
運動エネルギーの式$\lambda$に代入すると
\begin{eqnarray*}
E1&=&\frac{1}{2m}\frac{h^2}{(4a)^2}\\
&=&\frac{h^2}{32ma^2}
\end{eqnarray*}
(2)腹が壁の間に2つある状態を考えると
定常波の波長は$2a$となり
運動エネルギーの式に代入すると
\begin{eqnarray*}
E2&=&\frac{1}{2m}\frac{h^2}{(2a)^2}\\
&=&\frac{4h^2}{32ma^2}\\
&=&\frac{2^2h^2}{32ma^2}
\end{eqnarray*}
(3)腹が壁の間に3つある状態を考えると
定常波の波長は$2a$を$2/3$とした長さとなり
\begin{eqnarray*}
E3&=&\frac{1}{2m}\frac{h^2}{(\frac{2}{3}2a)^2}\\
&=&\frac{9h^2}{32ma^2}\\
&=&\frac{3^3h^2}{32ma^2}
\end{eqnarray*}
運動エネルギーは飛び飛びの値になることが分かります。
Standing_wave_potential_energy

周期的境界条件

1次元の弦に電子が詰まっていることを考えます。

エネルギーEを考えます。
\begin{eqnarray*}
E=\frac{\hbar}{2m}(\frac{n_x\pi}{L})^2
\end{eqnarray*}

ここでいきなり波動関数$\varphi(x)$を導入します。
\begin{eqnarray*}
\varphi(x)&=&Ae^{ik_x}\\
&=&e^{i(k_x+L)}\\
&=&e^{iL}Ae^{ik_x}
\end{eqnarray*}
ここでオイラーの公式$e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$より
以上の式が成り立つためには$e^{iL}=0$でなければならなくなります。
したがって$k_x=\frac{2\pi}{L} n_x$の
$n_x$の値は0および$2\pi$の周期的な値となり、
$k_x$の波数は、
$\frac{2\pi}{L}$の周期の飛び飛びの値になります。
なお、今回の一次元の場合は$\frac{2\pi}{L}$の間隔になりますが、
3次元の場合には、電子が閉じ込められる体積は$({\frac{2\pi}{L})}^3$となります。
1jigen

状態密度関数

状態密度関数を求めます。


Eは粒子の運動エネルギーを表します。
$\hbar$はプランク定数を$2\pi$で割った定数でディラック定数と呼ばれます。
ここでkは波数ベクトルを表します。
mは有効質量をを表します。


\begin{eqnarray*}
E&=&\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\\
2mE &=& \hbar^2 k^2 \\
k^2 &=& \frac{2mE}{\hbar^2}\\
k &=&( {\frac{2mE}{\hbar^2}})^\frac{1}{2}\\
\end{eqnarray*}

次に存在するエネルギーの状態数Nを求めます。


式の分子、球の体積 $\frac{4}{3}\pi k^3$ これはフェルミ球を呼ばれることがあります。
kはその球の半径を表します。
分子の最初の係数2は電子のスピン2に由来しております。
分母はLの立方体$(\frac{2\pi}{L})^3$の体積を表します。


\begin{eqnarray*}
N &=& \frac{2(\frac{4}{3}\pi k^3) }{ (\frac{2\pi}{L})^3}\\
\end{eqnarray*}
式を変更して
\begin{eqnarray*}
N &=& \frac{8\pi k^3 L^3}{ 3 \cdot 8\pi^3}k^3\\
&=&\frac{L^3} { 3\pi^2} k^3\\
\end{eqnarray*}
Nは存在するエネルギーの状態数Nでした。


この式にフェルミ球の半径(波数ベクトル)のkを代入して
エネルギーの状態数Nをもとめます。


\begin{eqnarray*}
N &=&\frac{L^3}{ 3\pi^2}\cdot( {\frac{2mE}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \\
&=&\frac{L^3}{ 3\pi^2}\cdot ({\frac{2m}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \cdot E^\frac{3}{2} \\
\end{eqnarray*}


存在するエネルギーの状態数Nを粒子の運動エネルギーEで微分しますと状態密度関数Dが求まります。


\begin{eqnarray*}
D&=&\frac{dN}{dE} = \frac{L^3}{ 3\pi^2} ({\frac{2m}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} E^\frac{1}{2} \\
&=&\frac{L^3}{ 2\pi^2} ({\frac{2m}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \cdot E^\frac{1}{2} \\
\end{eqnarray*}


立方体各辺の長さLの体積をV=1で規格化しますと。
$L^3 = V = 1$


状態密度関数
\begin{eqnarray*}
D&=&\frac{1}{ 2\pi^2} ({\frac{2m}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \cdot E^\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{ 2\pi^2} ({\frac{2m}{\hbar^2}})^\frac{3}{2} \cdot \sqrt{E} \\
\end{eqnarray*}

電子工学の基礎

半導体のお勉強で固体物理を勉強始めましたが、撃沈気味です。まずは高校物理くらいから復習することにします。