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PN接合の電荷、電界、電位の分布

PN接合の電荷、電界、電位の分布を求めます。

xの位置を$-x_p\leq x \leq 0$の範囲とした場合
\begin{eqnarray*}
\rho = -qN_a
\end{eqnarray*}

xの位置を$0 \leq x \leq x_n$の範囲とした場合
\begin{eqnarray*}
\rho = qN_d
\end{eqnarray*}
PN接合の電荷からポワソン方程式を解いて
電界、電位の分布を求めます。
ポワソン方程式
\begin{eqnarray*}
\frac{d^2 \Phi}{dx^2}=-\frac{\rho}{\epsilon}
\end{eqnarray*}

xの位置を$-x_p\leq x \leq 0$の範囲とした場合
\begin{eqnarray*}
\frac{d^2 \Phi}{dx^2}&=-\frac{\rho}{\epsilon} \\
&=-(-\frac{qN_a}{\epsilon}) \\
\end{eqnarray*}

xの位置を$0\leq x \leq x_n$の範囲とした場合
\begin{eqnarray*}
\frac{d^2 \Phi}{dx^2}&=-\frac{\rho}{\epsilon} \\
&=-(\frac{qN_d}{\epsilon}) \\
&=-\frac{qN_d}{\epsilon}
\end{eqnarray*}
電界の分布を求めます。
\begin{eqnarray*}
E=-\frac{d \Phi}{dx}
\end{eqnarray*}

xの位置を$-x_p\leq x \leq 0$の範囲とした場合
\begin{eqnarray*}
\frac{d \Phi}{dx}&= \int_{-x_p}^0 \frac{d^2 \Phi}{dx^2}dx \\
&=\int_{-x_p}^0 \frac{qN_a}{\epsilon} dx \\
&=\frac{qN_a}{\epsilon} x+E(0)
\end{eqnarray*}
ここで
\begin{eqnarray*}
E(x)&=-\frac{d \Phi}{dx}\\
\end{eqnarray*}

xの位置を$0\leq x \leq x_n$の範囲とした場合
\begin{eqnarray*}
\frac{d \Phi}{dx}&=\int_0^{x_n} \frac{d^2 \Phi}{dx^2}dx \\
&=\int_0^{x_n} \frac{-qN_d}{\epsilon} dx \\
&=\frac{-qN_d}{\epsilon} x+E(0)
\end{eqnarray*}
ここで
\begin{eqnarray*}
E(x)&=-\frac{d\Phi}{dx} \\
&=\frac{qN_d}{\epsilon} x -E(0)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
E(0)&=\frac{qN_a x_p}{\epsilon} \\
&=\frac{qN_d x_n}{\epsilon}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\therefore N_aX_n=N_dx_n
\end{eqnarray*}

xの位置を$-x_p \leq x \leq 0$の範囲とした場合
\begin{eqnarray*}
E(x)=-\frac{qN_a(x+x_p)}{\epsilon}
\end{eqnarray*}

xの位置を$0 \leq x \leq x_n$の範囲とした場合
\begin{eqnarray*}
E(x)&=-\frac{qN_d(x_n-x)}{\epsilon} \\
&=\frac{qN_d(x-x_n)}{\epsilon}
\end{eqnarray*}
電界の分布が求まりました。
次に電位の分布を求めます。
\begin{eqnarray*}
E(x)&=-\frac{d \Phi}{dx} \\
\int E(x)dx&=-\Phi \\
\Phi(x)&=- \int E(x)dx
\end{eqnarray*}

xの位置を$-x_p \leq x \leq 0$の範囲とした場合
\begin{eqnarray*}
\Phi(x)&=- \int_{-x_p}^0 E(x)dx\\
&=- \int_{-x_p}^0 \frac{-qN_a(x+x_p)}{\epsilon} dx \\
&=\int_{-x_p}^0 \frac{qN_a(x+x_p)}{\epsilon} dx \\
&=\frac{qN_a}{\epsilon} \int_{-x_p}^0 (x+x_p)dx \\
&=\frac{qN_a}{2 \epsilon} (x+x_p)^2+C
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left.\Phi(x)\right|_{x = -x_p} &=0\\
C&=0\\
\Phi(x)& = \frac{qN_a}{2 \epsilon} (x+x_p)^2
\end{eqnarray*}

xの位置を$0 \leq x \leq x_n$の範囲とした場合
\begin{eqnarray*}
\Phi(x)&=-\int_0^{x_n} E(x)dx \\
&=-\int_0^{x_n} \frac{qN_d(x-x_n)}{\epsilon} dx \\
&=\frac{-qN_d}{\epsilon} \int_0^{x_n} (x-x_n)dx \\
&=\frac{-qN_d}{2 \epsilon} (x-x_n)^2+D
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\Phi(0)&=\frac{-qN_d}{2 \epsilon} (-x_n)^2+D \\
\frac{qN_ax_p^2}{2 \epsilon}&=\frac{-qN_d}{2 \epsilon} x_n^2+D \\
D&=\frac{q}{2\epsilon}(N_a x_p^2+N_d x_n^2)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\Phi(x)=\frac{-qN_d}{2\epsilon} (x-x_n)^2 +\frac{q}{2\epsilon}(N_a x_p^2+N_d x_n^2)
\end{eqnarray*}


Potential01

拡散電流(正孔)を求めます

拡散電流を求めます。
正孔の電荷を「q」とします。

粒子(今回は正孔)の数密度が高い位置、低い位置があったとします。
ある位置$x_i$の数密度を$p(x_i)$、その隣の位置$x_{i+1}$の数密度を$p(x_{i+1})$おきます。
その位置を長さLで等分割します。

位置$x_i$、位置$x_{i+1}$の正孔がそれぞれ右か左に移動する
個数(数密度)はそれぞれ確率は半分$\frac{1}{2}$です。
位置$x_i$の正孔が右に動く数は1/2$n(x_i)$、
位置$x_{i+1}$の正孔が左に動く数は$\frac{1}{2}p(x_{i+1)}$とおけます。

この時電子の衝突の平均時間をt、移動距離をLとします。
\begin{align*}
x_{i+1}-x_i=L
\end{align*}
時間tの間に位置$x_i$にあった正孔の数、数密度の半分(1/2)は位置$x_{i+1}$に、
位置$x_{i+1}$にあった数密度の半分は位置$x_i$の左に移動したとします。

これは何意味しているというと位置$x_i$にあった正孔と
位置$x_{i+1}$にあった正孔がその中点で衝突したことを仮定していることになります。


その移動分の数密度を$\Delta p$とおくと


\begin{eqnarray*}
\Delta p&=&\frac{1}{2}p(x_i)-\frac{1}{2}p(x_{i+1})\\
&=&\frac{1}{2} \{p(x_i)-n(p_{i+1}) \}\\
\end{eqnarray*}

電流密度=電荷×数密度変化×速度します
また、速度=L(移動距離(移動行程))/t(平均衝突時間)ですから、

\begin{eqnarray*}
J_p&=&+q\Delta n \frac{L}{t}\\
&=&q \frac{1}{2} \{p(x_i)-p(x_{i+1}) \} \frac{L}{t}\\
&=&q \{ \frac{ p(x_i)-p(x_{i+1})}{L} \} \frac{L^2}{2t}
\end{eqnarray*}

中かっこ{}の部分を一階の微分で表すと
\begin{eqnarray*}
\frac{ p(x_i)-p(x_{i+1})}{L} =-\frac{dp}{dx}
\end{eqnarray*}
拡散電流は
\begin{eqnarray*}
J_p&=&(+q)(-\frac{dp}{dx})\frac{L^2}{2t}\\
&=&-q\frac{dp}{dx}\frac{L^2}{2t}
\end{eqnarray*}
$Dp=\frac{L^2}{2t}$と拡散係数と定義すると
\begin{eqnarray*}
J_p&=&-qDp\frac{dp}{dx}
\end{eqnarray*}
キャリア(正孔)の場合の拡散方程式を求めることができました。
Kakusan-p

拡散電流を求めます(2)

拡散電流を求めます。
電子の電荷を「-q」とします。

粒子(今回は電子)の数密度が高い位置、低い位置があったとします。
ある位置$x_i$の数密度を$n(x_i)$、その隣の位置$x_{i+1}$の数密度を$n(x_{i+1})$おきます。
その位置を長さLで等分割します。

位置$x_i$、位置$x_{i+1}$の電子がそれぞれ右か左に移動する
個数(数密度)はそれぞれ確率は半分$\frac{1}{2}$です。
位置$x_i$の電子が右に動く数は1/2$n(x_i)$、
位置$x_{i+1}$の電子が左に動く数は$\frac{1}{2}n(x_{i+1)}$とおけます。

この時電子の衝突の平均時間をt、移動距離をLとします。
\begin{align*}
x_{i+1}-x_i=L
\end{align*}
時間tの間に位置$x_i$にあった電子の数、数密度の半分(1/2)は位置$x_{i+1}$に、
位置$x_{i+1}$にあった数密度の半分は位置$x_i$の左に移動したとします。

これは何意味しているというと位置$x_i$にあった電子と
位置$x_{i+1}$にあった電子がその中点で衝突したことを仮定していることになります。


その移動分の数密度を$\Delta n$とおくと


\begin{eqnarray*}
\Delta n&=&\frac{1}{2}n(x_i)-\frac{1}{2}n(x_{i+1})\\
&=&\frac{1}{2} \{n(x_i)-n(x_{i+1}) \}\\
\end{eqnarray*}

電流密度=電荷×数密度変化×速度します
また、速度=L(移動距離(移動行程))/t(平均衝突時間)ですから、

\begin{eqnarray*}
J_n&=&-q\Delta n \frac{L}{t}\\
&=&-q \frac{1}{2} \{n(x_i)-n(x_{i+1}) \} \frac{L}{t}\\
&=&-q \{ \frac{ n(x_i)-n(x_{i+1})}{L} \} \frac{L^2}{2t}
\end{eqnarray*}

中かっこ{}の部分を一階の微分で表すと
\begin{eqnarray*}
\frac{ n(x_i)-n(x_{i+1})}{L} =-\frac{dn}{dx}
\end{eqnarray*}
拡散電流は
\begin{eqnarray*}
J_n&=&(-q)(-\frac{dn}{dx})\frac{L^2}{2t}\\
&=&q\frac{dn}{dx}\frac{L^2}{2t}
\end{eqnarray*}
$Dn=\frac{L^2}{2t}$と拡散係数と定義すると
\begin{eqnarray*}
J_n&=&qDn\frac{dn}{dx}
\end{eqnarray*}
キャリア(電子)の場合の拡散方程式を求めることができました。
Kakusan-n0001

拡散方程式の導出を試みます。

拡散方程式の導出を試みます。

粒子(今回は電子)の数密度が高い位置、低い位置があったとします。
ある位置$x_i$の数密度を$n(x_i)$、その隣の位置$x_{i+1}$の数密度を$n(x_{i+1})$おきます。
その位置を長さ$L$で等分割します。

位置$x_i$、位置$x_{i+1}$の電子がそれぞれ右か左に移動する
個数(数密度)はそれぞれ確率は半分$\frac{1}{2}$です。
位置$x_i$の電子が右に動く数は$\frac{1}{2}n(x_i)$、
位置$x_{i+1}$の電子が左に動く数は$\frac{1}{2}n(x_{i+1})$とおけます。

この時電子の衝突の平均時間をt、移動距離をLとします。
\begin{eqnarray*}
x_{i+1}-xi&=&L
\end{eqnarray*}
時間$t$の間に位置$x_i$にあった電子の数、数密度の半分は位置$x_{i+1}$に、
位置$x_{i+1}$にあった数密度の半分は位置$x_i$の左に移動したとします。

これは何意味しているというと位置$x_i$にあった電子と
位置$x_{i+1}$にあった電子がその中点で衝突したことを
仮定していることになります。

その移動分の数密度を$\Delta n$とおくと
\begin{eqnarray*}
\Delta n&=&\frac{1}{2}n(x_i)-\frac{1}{2}n(x_{i+1})
\end{eqnarray*}
電流密度=電荷×数密度変化×速度とします
また、速度=L(移動距離(移動行程))÷t(平均衝突時間)ですから、
\begin{eqnarray*}
J_{diff}&=&-e \{ \frac{1}{2}n(x_i)-\frac{1}{2}n(x_{i+1}) \}\frac{L}{t}\\
&=&e\{ \frac{n(x_{i+1})-n(x_i)}{L} \} \frac{L^2}{2t}
\end{eqnarray*}
中カッコの中身、$\Delta n$(数密度変化の変化)がなだらかな場合、
数密度の変化(変化の傾き)を1階の微分で近似できます。
マックスウェル方程式のガウスの法則や回転でも使用してきました。

\begin{eqnarray*}
\frac{n(x_{i+1})-{n(x_i)}}{x}& \simeq &\frac{dn(x)}{dx}
\end{eqnarray*}
したがって、拡散電流は
\begin{eqnarray*}
J_{diff} = e \frac {dn(x)}{dx} \frac{L^2}{2t}
\end{eqnarray*}
$D \equiv \frac{L^2}{2t} $と拡散係数と定義すると
\begin{eqnarray*}
J_{diff}=e D \frac{dn(x)}{dx}
\end{eqnarray*}


DiffusionEquation01

拡散電流の導出(1)

断面積Sの半導体を考えます。キャリアの電子が不均一(!)に分布していることを考えます。場所x=x0の面に注目します。電子はこの両面。左からも右からも通過します。キャリアの電子が不均一。場所x=x0の面の左側の電子密度は高くなっています。このうちの半分の電子が左側から右側へ通過します。
左から右へ通過する電子が多く、右から左へ通過する電子は少ないとします。
(ただ、拡散電流の向きは電子が動く方向と逆になります)
単一時間に通過する電子の衝突過程の平均時間をt ̄(バー)とします。平均自由行程をL ̄(バー)とします。
※この周辺の説明はもう少し考えます。平均自由行程L ̄と断面積Sに囲まれた体積L ̄Sの領域を考えます。
平均的に電子の半分(!)が衝突に妨げることなく平均時間をt ̄の間にx0の面を通過します。x0の面を通過する電子の数は場所x0の面の距離L ̄の範囲、両側の電子の半分(!)です。

SOLID-01