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時空図

最初は宇宙船に固定された座標を考えましたが、
今度は外部の宇宙ステーションなどの外部から見た座標で
宇宙船を観察することを考えます。
宇宙線は先頭位置A方向へ速度V移動していることを考えます。
宇宙線の中央位置をCを考えて、それから光信号を発しますと
宇宙船は速度Vで先頭位置をAへ移動しているため、
光信号は先頭位置をAには遅れて時刻t1にて到達することになります。
後尾先頭Bには遅れてt2の時刻で進んで時刻t2到達することになります。しかし、宇宙船の内部、宇宙船外部からの異なった慣性系から見ても光の速度が一定であるということ(光速度一定の法則)に矛盾していることになります。

時空図に挑戦はしたものの、光速度一定の矛盾は分かりやすいものの、計算には向いていないと気がつきました。横軸が距離、縦軸が時間なので空時図と言うべきか。。。
時空図2

時空図の準備

宇宙船に固定された座標を考えます。
宇宙船の長さをL0と考えて、宇宙船の先頭位置をA
宇宙船の後尾位置をBを考えます。
宇宙線の中央位置をCを考えて、それから光信号を発しますと
先頭位置A、後尾位置Bに光信号が時刻t1にて同時に到達することになります。
時空図1

半導体のお勉強

半導体のお勉強を行っております。
その最初の目標が以下のショックレーのダイオード方程式になります。
ここまで到達できるのかまだ自信がありません。(^^;)

\begin{eqnarray*}
I=Is\left\{ exp(\frac{qV}{nkT})-1\right\}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
I=Is\left\{ e^{\frac{qV}{nkT}}-1\right\}
\end{eqnarray*}

qは電子の電荷量、kはボルツマン定数、T:環境温度(絶対温度)

この式にダイオードにかかる電圧Vをx軸方向に変化させると、
ダイオードに流れる電流Iがy軸方向に求まるというものです。

Isは逆方向飽和電流と呼ばれるのですが、
まず言葉の定義からまだ理解がかなり不足しております。(^^;)
またこの値を導くだけでも大変そうです。(^^;)

実際にはSPICE(電子回路のアナログ動作をシミュレーションするソフトウェア)を
使って実際のダイオードの動作を計算することが簡単そうです。
ところでそのダイオードですが、どのダイオードを使うのかも問題です。

いろいろと考えておりますが、
半導体の勉強(電子物性論みたいな)を考えております。

オペアンプを使用した微分・積分回路の準備

オペアンプを使用した微分・積分回路の準備を始めます。
キルヒホッフの定理よりオペアンプの反転入力にはほとんど電流が流れ込まないことから、
電流は入力から出力に流れることから、
\begin{eqnarray*}
I=\frac{VI-V\ominus}{Z1}=\frac{V\ominus-VO}{Z2}
\end{eqnarray*}
オペアンプの反転入力にかかる電圧$V\ominus$をもとめます。

\begin{eqnarray*}
\frac{VI}{Z1}+\frac{Vo}{Z1}&=&\frac{V\ominus}{Z2}+\frac{V\ominus}{Z1}\\
&=&(\frac{1}{Z1}+\frac{1}{Z2})V\ominus\\
&=&\frac{Z1+Z2}{Z1Z2}V\ominus
\end{eqnarray*}
オペアンプの反転入力は
\begin{eqnarray*}
V\ominus&=&\frac{Z1Z2}{Z1+Z2}(\frac{VI}{Z1}+\frac{VO}{Z2})\\
&=&\frac{Z2}{Z1+Z2}VI+\frac{Z1}{Z1+Z2}VO
\end{eqnarray*}
オペアンプの非反転入力は
\begin{eqnarray*}
V\oplus=0
\end{eqnarray*}
オペアンプの出力はオペアンプの増幅度をAとして、
以下の式で表されます。
\begin{eqnarray*}
VO=A(V\oplus - V\ominus)
\end{eqnarray*}
オペアンプの出力の式に非反転入力、非反転入力を代入します。
\begin{eqnarray*}
VO=-\frac{AZ2}{Z1+Z2}VI-\frac{AZ1}{Z1+Z2}VO
\end{eqnarray*}
VOでまとめると、
\begin{eqnarray*}
(1+\frac{AZ1}{Z1+Z2})VO=-\frac{AZ2}{Z1+Z2}VI\\
(\frac{1}{A}+\frac{Z1}{Z1+Z2})VO=-\frac{Z2}{Z1+Z2}VI
\end{eqnarray*}
理想オペアンプの増幅率Aは無限大であることから$ A\rightarrow \infty$
\begin{eqnarray*}
Z1VO=-Z2VI\\
VO=-\frac{Z2}{Z1}VI\\
\end{eqnarray*}
微分・積分回路の準備が終わりました。
Preparation-of-integration-differentiation-circuit1

インスツルメンテーション・アンプ(Instrumentation Amplifier)

インスツルメンテーション・アンプ(Instrumentation Amplifier)の算出を行います。
\begin{eqnarray*}
I1=I2=I3\\
\end{eqnarray*}
バーチャルショートを使うことにしました。
増幅率を無限大にして解くのは少し難しいです。
\begin{eqnarray*}
\frac{VO2-VI2}{R3}=\frac{VI2-VI1}{R1}=\frac{VI1-VO1}{R2}
\end{eqnarray*}
先ほどはもうバーチャルショートを使ってます。

VO2とVO1について整理します。
\begin{eqnarray*}
VO2-VI2&=&\frac{R3}{R1}(VI2-VI1)\\
VO2&=&\frac{R3}{R1}(VI2-VI1)+VI2
\end{eqnarray*}
先ほどの最初の式をもう一度かきます。

\begin{eqnarray*}
\frac{VI2-VI1}{R1}&=&\frac{VI1-VO1}{R2}\\
\frac{R2}{R1}(VI2-VI1)&=&VI1-VO1
\end{eqnarray*}
から
\begin{eqnarray*}
VO1=-\frac{R2}{R1}(VI2-VI1)+VI1
\end{eqnarray*}
後段の差動増幅回路の式は回路図から。
\begin{eqnarray*}
VO=\frac{R5}{R4}(VO2-VO1)
\end{eqnarray*}
この式に先ほどのバッファの式を代入します。
\begin{eqnarray*}
VO=\frac{R5}{R4}\left[\frac{R3}{R1}(VI2-VI1)+VI2 +\frac{R2}{R1}(VI2-VI1)-VI1 \right]
\end{eqnarray*}
ここでR3=R2としますと。
\begin{eqnarray*}
Vo=\frac{R5}{R4}\left[\frac{2R2}{R1}(VI2-VI1)+VI2-VI1 \right]
\end{eqnarray*}
以下のようにVi2-Vi1の項でまとめますと
\begin{eqnarray*}
VO=\frac{R5}{R4}\left[\frac{2R2}{R1}(VI2-VI1)+\frac{R1}{R1}(VI2-VI1) \right]
\end{eqnarray*}
インスツルメンテーションアンプの式が求まります。
\begin{eqnarray*}
VO&=&\frac{R5}{R4}(\frac{2R2+R1}{R1})(VI2-VI1)
\end{eqnarray*}

Superior-Differential-Amplifier2
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